Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042426

Треугольники $BPC$ и $BAC$ имеют общую вершину $C$, а их стороны $BP$ и $BA$ лежат на одной прямой. Высота из $C$ у них общая, поэтому площади относятся как эти стороны. Здесь $AB=AP+PB=7{,}8+5{,}2=13$:

$$S=S_{BPC}=\dfrac{BP}{BA}\cdot S_{ABC}=\dfrac{5{,}2}{13}\cdot S_{ABC}=0{,}4\cdot S_{ABC}.$$

Площадь $ABC$ считаю через высоту $BD$: $S_{ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot BD=\dfrac52\cdot AC$. Осталось найти $AC$.

Из прямоугольного треугольника $ABD$: $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{169-25}=12$. Из прямоугольного треугольника $CBD$: $DC=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{125-25}=10$.

Основание высоты $D$ может лежать между $A$ и $C$, а может — вне отрезка $AC$ (если угол $A$ или $C$ тупой). Поэтому возможны два значения: $AC=12+10=22$ или $AC=12-10=2$.

Случай $AC=22$: $S_{ABC}=\dfrac52\cdot22=55$, $S=0{,}4\cdot55=22$.

Случай $AC=2$: $S_{ABC}=\dfrac52\cdot2=5$, $S=0{,}4\cdot5=2$. Это меньше $3$ — не подходит.

Значит, $S=22$.

Проверю координатами. Пусть $D=(0;0)$, $B=(0;5)$, $A=(-12;0)$, $C=(10;0)$. Тогда $AB=\sqrt{144+25}=13$, $BC=\sqrt{100+25}=5\sqrt5$ — как в условии. Точка $P$ делит $AB$ в отношении $7{,}8:5{,}2=3:2$, считая от $A$: $P=A+\dfrac35(B-A)=(-4{,}8;\,3)$. Векторы $\overrightarrow{BP}=(-4{,}8;\,-2)$ и $\overrightarrow{BC}=(10;\,-5)$, площадь треугольника — половина модуля их «косого» произведения: $\dfrac12\left|(-4{,}8)\cdot(-5)-(-2)\cdot10\right|=\dfrac12\cdot44=22$ — совпадает.