Центральные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042283

Задание №1. Планиметрия

Центральные и вписанные углы

№2. Задание 1

ID: 00042283

Из точки $$A$$ окружности проведены диаметр $$AB$$ и хорда $$AC$$ , которая продолжена за $$C$$ на расстояние $$CK$$ , равное $$AC$$ . Найти $$BK$$ , если радиус окружности равен 4.

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Угол $$ACB$$ вписанный и опирается на диаметр $$AB$$ , поэтому он прямой: $BC\perp AK$ .

По условию $$CK=AC$$ , то есть $$C$$ — середина отрезка $$AK$$ . Значит, в треугольнике $$ABK$$ отрезок $$BC$$ одновременно медиана и высота.

Треугольники $$ABC$$ и $$KBC$$ равны по двум сторонам и углу между ними: $$AC=CK$$ , сторона $$BC$$ общая, $\angle ACB=\angle KCB=90^\circ$ . Значит, $$BK=AB$$ .

$$AB$$ — диаметр, он равен двум радиусам: $AB=2\cdot4=8$ . Поэтому $$BK=8$$ .

Проверка координатами: центр $$O(0;0)$$ , $$A(-4;0)$$ , $$B(4;0)$$ , точка $C(4\cos\varphi;\,4\sin\varphi)$ — любая точка окружности. Точка $$K$$ симметрична $$A$$ относительно $$C$$ : $K(8\cos\varphi+4;\,8\sin\varphi)$ . Тогда $BK^2=(8\cos\varphi)^2+(8\sin\varphi)^2=64$ , $$BK=8$$ при любом положении $$C$$ .

Ответ

Другие задания по теме «Центральные и вписанные углы» (8)