Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042436

Точка $C$ лежит вне окружности, и из неё выходят две секущие: одна пересекает окружность в точках $P$ и $K$, другая — в точках $D$ и $M$.

Теорема о двух секущих: если из внешней точки провести две секущие, то произведение расстояний от этой точки до двух точек пересечения одинаково для обеих секущих:

$$CP\cdot CK=CD\cdot CM.$$

Левая часть: $CP\cdot CK=6\cdot16=96$. Значит, $CD=\dfrac{96}{CM}=\dfrac{96}{24}=4$.

Теперь решу, где лежит точка $D$. Если бы точка $M$ была ближе к $C$, чем $D$, то $CD$ оказалось бы длиннее $CM$. Но $CD=4\lt 24=CM$, поэтому $D$ лежит между $C$ и $M$.

Тогда хорда $DM$ — это вторая секущая без внешней части: $DM=CM-CD=24-4=20$.

Проверка: квадрат касательной из точки $C$ равен $CP\cdot CK=96$ и должен равняться $CD\cdot CM=4\cdot24=96$ — совпадает. И по смыслу: вторая секущая длиннее первой, поэтому её внешняя часть $4$ короче внешней части первой секущей $6$.