Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042394

Сначала разберусь с углом $A$. По условию $AM=\dfrac{BC}{2}$, а $M$ — середина $BC$, поэтому $MB=MC=MA$.

Треугольники $AMB$ и $AMC$ равнобедренные, углы при их основаниях равны: $\angle MAB=\angle B$ и $\angle MAC=\angle C$.

Тогда $\angle A=\angle MAB+\angle MAC=\angle B+\angle C$. Но $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$, значит, $2\angle A=180^\circ$ и $\angle A=90^\circ$. Треугольник прямоугольный, $BC$ — гипотенуза.

Теперь острые углы. Пусть для определённости точка $H$ лежит между $B$ и $M$ (иначе поменяем местами буквы $B$ и $C$). Треугольник $AHM$ прямоугольный (угол $H$ прямой), поэтому $\angle AMH=90^\circ-40^\circ=50^\circ$.

Угол $AMB$ совпадает с углом $AMH$ и равен $50^\circ$. В равнобедренном треугольнике $AMB$ углы при основании $AB$ равны:

$$\angle B=\dfrac{180^\circ-50^\circ}{2}=\dfrac{130^\circ}{2}=65^\circ.$$

Тогда $\angle C=90^\circ-65^\circ=25^\circ$. Углы треугольника: $90^\circ$, $65^\circ$, $25^\circ$, наименьший — $25^\circ$.

Проверю, сложив углы при вершине $A$. В прямоугольном треугольнике $ABH$: $\angle BAH=90^\circ-\angle B=25^\circ$. В равнобедренном треугольнике $AMC$: $\angle MAC=\angle C=25^\circ$. Угол между медианой и высотой: $\angle HAM=90^\circ-25^\circ-25^\circ=40^\circ$ — совпадает с условием.