Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042397

Пусть $ABC$ — треугольник с прямым углом $C$, $AN$ — биссектриса острого угла $A$. Обозначу $\angle CAN=\angle NAB=\varphi$, тогда $\angle A=2\varphi$. По условию $AB=6\cdot AN$.

Выражу обе длины через катет $AC$. В прямоугольном треугольнике $ACN$ катет $AC$ прилежит к углу $\varphi$, а $AN$ — гипотенуза: $AN=\dfrac{AC}{\cos\varphi}$.

В треугольнике $ABC$ катет $AC$ прилежит к углу $2\varphi$, а $AB$ — гипотенуза: $AB=\dfrac{AC}{\cos2\varphi}$.

Делю одно на другое:

$$\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{\cos\varphi}{\cos2\varphi}=6\ \Rightarrow\ \cos\varphi=6\cos2\varphi.$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos2\varphi=2\cos^2\varphi-1$. Обозначу $t=\cos\varphi$:

$$t=6\left(2t^2-1\right)\ \Rightarrow\ 12t^2-t-6=0.$$

Дискриминант $D=1+4\cdot12\cdot6=289=17^2$, корни $t=\dfrac{1\pm17}{24}$: $t=\dfrac{18}{24}=\dfrac34$ или $t=-\dfrac{16}{24}=-\dfrac23$.

Угол $\varphi$ — половина острого угла, он меньше $45^\circ$, и его косинус положителен. Значит, $\cos\varphi=\dfrac34$.

Искомый косинус угла $A$:

$$\cos A=\cos2\varphi=2\cdot\left(\dfrac34\right)^2-1=2\cdot\dfrac{9}{16}-1=\dfrac{18}{16}-1=\dfrac{2}{16}=\dfrac18=0{,}125.$$

Проверю через само условие: $\dfrac{\cos\varphi}{\cos2\varphi}=\dfrac34:\dfrac18=\dfrac34\cdot8=6$ — биссектриса действительно в $6$ раз короче гипотенузы. Сам угол $A=2\arccos\dfrac34$, второй острый угол $\dfrac{\pi}{2}-2\arccos\dfrac34$ — это ответ исходной задачи сборника.