Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042393

Медиана $CM$ проведена из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. Такая медиана равна половине гипотенузы, поэтому $CM=AM=MB$ (точка $M$ — центр описанной окружности).

Значит, треугольник $AMC$ равнобедренный с боковыми сторонами $MA=MC$, и углы при его основании $AC$ равны: $\angle MAC=\angle MCA$.

Сумма углов треугольника $AMC$ равна $180^\circ$:

$$2\angle MAC+42^\circ=180^\circ\ \Rightarrow\ \angle MAC=\dfrac{180^\circ-42^\circ}{2}=\dfrac{138^\circ}{2}=69^\circ.$$

Угол $MAC$ — это угол $A$ треугольника $ABC$, ведь точка $M$ лежит на стороне $AB$. Второй острый угол: $\angle B=90^\circ-69^\circ=21^\circ$.

Острые углы равны $69^\circ$ и $21^\circ$, больший из них — $69^\circ$.

Проверю через другой треугольник. Угол $BMC$ смежный с углом $AMC$: $180^\circ-42^\circ=138^\circ$. Треугольник $BMC$ тоже равнобедренный ($MB=MC$), его углы при основании равны $\dfrac{180^\circ-138^\circ}{2}=21^\circ$ — это угол $B$. И $69^\circ+21^\circ=90^\circ$ — сходится.