Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042395

Задание №1. Планиметрия

Прямоугольной треугольник

№2. Задание 1

ID: 00042395

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ $$AC=3$$ , $$BC=4$$ . Окружность с центром в точке $$A$$ проходит через точку $$C$$ и пересекает гипотенузу $$AB$$ в точке $$K$$ . Найти отношение $\dfrac{AK}{BK}$ .

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Гипотенуза по условию — $$AB$$ , значит, $$AC=3$$ и $$BC=4$$ — катеты. По теореме Пифагора:

$AB^2=3^2+4^2=9+16=25,\qquad AB=5.$

Окружность с центром $$A$$ проходит через $$C$$ , поэтому её радиус равен $$AC=3$$ . Точка $$K$$ лежит на этой окружности, значит, $$AK$$ — тоже радиус: $$AK=3$$ .

Точка $$K$$ лежит на гипотенузе, поэтому $$BK=AB-AK=5-3=2$$ .

Искомое отношение: $\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$ .

Проверка: $$AK+BK=3+2=5=AB$$ , и $AK=3\lt5$ , так что точка $$K$$ действительно лежит на отрезке $$AB$$ , а не на его продолжении.

Ответ

1,5

Другие задания по теме «Прямоугольной треугольник» (8)