Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042392

Пусть $ABC$ — данный треугольник с прямым углом $C$, $CN$ — биссектриса прямого угла, $CH$ — высота к гипотенузе $AB$. По условию $\angle NCH=10^\circ$.

Биссектриса делит прямой угол пополам, поэтому $\angle ACN=\angle NCB=\dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ$.

Пусть для определённости высота $CH$ лежит между биссектрисой и катетом $CA$ (иначе просто поменяем местами буквы $A$ и $B$). Тогда угол между катетом $CA$ и высотой на $10^\circ$ меньше половины прямого угла:

$$\angle ACH=45^\circ-10^\circ=35^\circ.$$

Треугольник $ACH$ прямоугольный (угол $H$ прямой), а сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Значит, $\angle A=90^\circ-35^\circ=55^\circ$.

В треугольнике $ABC$ острые углы тоже дают в сумме $90^\circ$: $\angle B=90^\circ-55^\circ=35^\circ$.

Острые углы треугольника равны $35^\circ$ и $55^\circ$, меньший из них — $35^\circ$.

Проверю другим способом. Высота из прямого угла образует с катетом $CA$ угол, равный $\angle B$ (оба дополняют $\angle A$ до $90^\circ$). Биссектриса образует с тем же катетом угол $45^\circ$. Поэтому угол между высотой и биссектрисой равен $45^\circ-\angle B=\dfrac{\angle A+\angle B}{2}-\angle B=\dfrac{\angle A-\angle B}{2}$. По условию это $10^\circ$, значит, $\angle A-\angle B=20^\circ$, а $\angle A+\angle B=90^\circ$. Складывая, получаю $2\angle A=110^\circ$, $\angle A=55^\circ$, $\angle B=35^\circ$ — то же самое.