Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042276

Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов: $S_{ABC}=\dfrac12\cdot BC\cdot AC$. Значит, нужно найти оба катета.

Катет $BC$ найду из прямоугольного треугольника $BCE$ (угол $C$ прямой) по теореме Пифагора:

$$BC=\sqrt{BE^2-CE^2}=\sqrt{17-1}=\sqrt{16}=4.$$

Теперь условие про площади. Треугольник $ACD$ состоит из четырёхугольника $CEOD$ и треугольника $AOE$, а треугольник $BCE$ — из того же четырёхугольника $CEOD$ и треугольника $BOD$:

$$S_{ACD}=S_{CEOD}+S_{AOE},\qquad S_{BCE}=S_{CEOD}+S_{BOD}.$$

Вычитаю одно из другого: $S_{BCE}-S_{ACD}=S_{BOD}-S_{AOE}=\dfrac12$. То есть треугольник $ACD$ меньше треугольника $BCE$ по площади ровно на $\dfrac12$.

Площадь $BCE$ считаю по катетам: $S_{BCE}=\dfrac12\cdot4\cdot1=2$. Значит, $S_{ACD}=2-\dfrac12=\dfrac32$.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ катеты $CD=1$ и $AC$: $\dfrac12\cdot1\cdot AC=\dfrac32$, откуда $AC=3$.

Площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC}=\dfrac12\cdot4\cdot3=6$.

Проверю координатами. Пусть $C(0;0)$, $B(4;0)$, $A(0;3)$, $D(1;0)$, $E(0;1)$. Прямая $AD$: $x+\dfrac y3=1$, прямая $BE$: $\dfrac x4+y=1$. Из второго уравнения $y=1-\dfrac x4$, подставляю в первое: $x+\dfrac13-\dfrac{x}{12}=1$, $\dfrac{11x}{12}=\dfrac23$, $x=\dfrac{8}{11}$, $y=\dfrac{9}{11}$. Тогда $S_{AOE}=\dfrac12\cdot AE\cdot x_O=\dfrac12\cdot2\cdot\dfrac{8}{11}=\dfrac{8}{11}$, $S_{BOD}=\dfrac12\cdot BD\cdot y_O=\dfrac12\cdot3\cdot\dfrac{9}{11}=\dfrac{27}{22}$. Разность $\dfrac{27}{22}-\dfrac{16}{22}=\dfrac12$ — как в условии.