Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042434

Основания трапеции — $BC$ и $AD$, а $AB$ — боковая сторона (к ней проведена касательная). Значит, $BC\parallel AD$.

Угол $ABD$ образован касательной $AB$ и хордой $BD$. По теореме об угле между касательной и хордой он равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $BD$: $\angle ABD=\angle BCD$.

Углы $CBD$ и $BDA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.

Значит, треугольники $ABD$ и $DCB$ подобны по двум углам: $\angle ABD=\angle DCB$ и $\angle ADB=\angle DBC$. Соответствие вершин $A\to D$, $B\to C$, $D\to B$, поэтому

$$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{BD}{CB}\qquad\Longrightarrow\qquad BD^2=AD\cdot BC=4\cdot9=36,\qquad BD=6.$$

Какое основание равно $4$, а какое $9$, не важно: произведение одно и то же.

Проверка: отношения $\dfrac{AD}{BD}$ и $\dfrac{BD}{BC}$ при $AD=9$, $BC=4$ равны $\dfrac96=1{,}5$ и $\dfrac64=1{,}5$ — подобие с коэффициентом $1{,}5$ согласовано. И обратно: если $BD^2=AD\cdot BC$, треугольники $ABD$ и $DCB$ подобны по двум сторонам и углу между ними, откуда $\angle ABD=\angle BCD$ и окружность $BCD$ касается $AB$ — значит, такая трапеция существует.