Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042433

Пусть треугольник $ABC$ вписан в окружность, $\angle A=50^\circ$, $\angle B=60^\circ$, $\angle C=70^\circ$. Касательные в точках $B$ и $C$ пересекаются в точке $A'$, касательные в $A$ и $C$ — в точке $B'$, касательные в $A$ и $B$ — в точке $C'$.

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключённую внутри этого угла. Касательная в точке $B$ и хорда $BC$ образуют угол, опирающийся на дугу $BC$, — он равен вписанному углу $A$: $\angle A'BC=\angle A=50^\circ$. Так же $\angle A'CB=50^\circ$.

В треугольнике $A'BC$ сумма углов $180^\circ$:

$$\angle BA'C=180^\circ-2\cdot50^\circ=80^\circ.$$

Аналогично у двух других вершин: $\angle AB'C=180^\circ-2\cdot60^\circ=60^\circ$, $\angle AC'B=180^\circ-2\cdot70^\circ=40^\circ$.

Наибольший угол — $80^\circ$, при вершине $A'$, напротив наименьшего угла вписанного треугольника.

Проверю другим способом. В четырёхугольнике $OBA'C$ ($O$ — центр окружности) углы при $B$ и $C$ прямые: радиус перпендикулярен касательной. Центральный угол $BOC$ вдвое больше вписанного угла $A$: $100^\circ$. Сумма углов четырёхугольника $360^\circ$, поэтому $\angle BA'C=360^\circ-90^\circ-90^\circ-100^\circ=80^\circ$ — совпало. Кроме того, $80^\circ+60^\circ+40^\circ=180^\circ$ — это действительно углы одного треугольника.