Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042431

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, $AB$ — общая хорда, $\angle AO_1B=90^\circ$, $\angle AO_2B=120^\circ$.

Каждый центр равноудалён от концов хорды: $O_1A=O_1B$, $O_2A=O_2B$. Значит, оба центра лежат на серединном перпендикуляре к $AB$: прямая $O_1O_2$ перпендикулярна $AB$ и проходит через её середину $H$. Отрезки $O_1H$ и $O_2H$ — высоты, а значит, и биссектрисы равнобедренных треугольников $AO_1B$ и $AO_2B$.

Половина хорды: $AH=\dfrac{3+\sqrt3}{8}$. Углы при центрах делятся пополам: $\angle AO_1H=45^\circ$, $\angle AO_2H=60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $AO_1H$: катет $O_1H$ прилежит к углу $45^\circ$, поэтому $O_1H=AH\cdot\operatorname{ctg}45^\circ=\dfrac{3+\sqrt3}{8}$.

Из прямоугольного треугольника $AO_2H$: $O_2H=AH\cdot\operatorname{ctg}60^\circ=\dfrac{3+\sqrt3}{8}\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}$. Умножу числитель и знаменатель на $\sqrt3$: $O_2H=\dfrac{3\sqrt3+3}{24}=\dfrac{\sqrt3+1}{8}$.

Центры лежат по одну сторону от хорды, то есть на одном луче, выходящем из точки $H$. Поэтому расстояние между ними — разность отрезков:

$$O_1O_2=O_1H-O_2H=\dfrac{3+\sqrt3}{8}-\dfrac{\sqrt3+1}{8}=\dfrac{2}{8}=0{,}25.$$

Проверка численно: $AH\approx\dfrac{4{,}732}{8}\approx0{,}5915$, $O_1H\approx0{,}5915$, $O_2H\approx\dfrac{2{,}732}{8}\approx0{,}3415$, разность $0{,}25$. Расположение согласовано: окружность, из центра которой хорда видна под большим углом $120^\circ$, имеет центр ближе к хорде ($0{,}34\lt0{,}59$).