Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042420

Пусть $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$: $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$. Она делит треугольник на треугольник $MBN$ и четырёхугольник (трапецию) $AMNC$.

Средняя линия параллельна стороне $AC$ и равна её половине. Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$: угол $B$ общий, $\angle BMN=\angle BAC$ как соответственные. Коэффициент подобия $\dfrac{MB}{AB}=\dfrac12$.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента:

$$S_{MBN}=\left(\dfrac12\right)^2S_{ABC}=\dfrac14S_{ABC}.$$

На четырёхугольник остаётся $S_{AMNC}=S_{ABC}-\dfrac14S_{ABC}=\dfrac34S_{ABC}$.

Отношение площадей четырёхугольника и треугольника: $\dfrac{S_{AMNC}}{S_{MBN}}=\dfrac34:\dfrac14=3$.

Проверю разрезанием. Проведу все три средние линии: они делят треугольник $ABC$ на четыре равных треугольника, у каждого стороны равны половинам сторон $ABC$. Один из них — $MBN$, а трапеция $AMNC$ состоит из трёх остальных. Значит, она втрое больше — то же самое.