Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042419

Пусть $O$ — точка внутри треугольника $ABC$. Три прямые через $O$, параллельные сторонам, разбивают его на три маленьких треугольника (площади $1$, $4$, $9$), прилегающих к сторонам, и три параллелограмма у вершин.

Каждый маленький треугольник подобен треугольнику $ABC$: его стороны параллельны сторонам $ABC$, поэтому углы те же.

У каждого маленького треугольника есть сторона, параллельная $AC$; обозначу их длины $a_1$, $a_2$, $a_3$ (для площадей $1$, $4$, $9$). У треугольника, прилегающего к $AC$, эта сторона лежит прямо на $AC$. У двух других она служит стороной параллелограмма при вершине $A$ или при вершине $C$, а противоположная сторона этого параллелограмма лежит на $AC$. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому сторона $AC$ складывается ровно из трёх кусков:

$$AC=a_1+a_2+a_3.$$

Коэффициент подобия маленького треугольника равен $\dfrac{a_i}{AC}$, а площади относятся как квадрат коэффициента. Если $S$ — площадь $ABC$, то $\dfrac{a_i}{AC}=\sqrt{\dfrac{S_i}{S}}$.

Делю равенство $AC=a_1+a_2+a_3$ на $AC$:

$$1=\dfrac{\sqrt1+\sqrt4+\sqrt9}{\sqrt S}\quad\Longrightarrow\quad\sqrt S=1+2+3=6,\qquad S=36.$$

Проверю, сложив все шесть частей. Прямая через $O$, параллельная $BC$, отсекает у вершины $A$ треугольник, составленный из параллелограмма при $A$ и двух маленьких треугольников, прилегающих к $AB$ и $AC$. Его сторона на $AC$ равна сумме сторон этих двух треугольников, поэтому по тому же рассуждению его площадь равна $\left(\sqrt{S_i}+\sqrt{S_j}\right)^2$, а площадь параллелограмма — $\left(\sqrt{S_i}+\sqrt{S_j}\right)^2-S_i-S_j=2\sqrt{S_iS_j}$.

Каждая пара маленьких треугольников встречается ровно у одной вершины, поэтому параллелограммы равны $2\sqrt{1\cdot4}=4$, $2\sqrt{1\cdot9}=6$ и $2\sqrt{4\cdot9}=12$. Сумма шести частей: $1+4+9+4+6+12=36$ — совпадает.