Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042418

Пусть точка $P$ лежит на стороне $AB$ треугольника $ABC$, $PN\parallel BC$ (точка $N$ на $AC$) и $PM\parallel AC$ (точка $M$ на $BC$). Получились треугольники $APN$ и $PBM$ и четырёхугольник $PNCM$ — параллелограмм, ведь его противоположные стороны попарно параллельны. Пусть $S_{APN}=4$, $S_{PBM}=25$.

Оба маленьких треугольника подобны треугольнику $ABC$. У $APN$ с ним общий угол $A$ и $\angle APN=\angle ABC$ (соответственные при $PN\parallel BC$). У $PBM$ общий угол $B$ и $\angle BPM=\angle BAC$ (соответственные при $PM\parallel AC$).

Коэффициенты подобия: $k_1=\dfrac{AP}{AB}$ у треугольника $APN$ и $k_2=\dfrac{PB}{AB}$ у треугольника $PBM$. Отрезки $AP$ и $PB$ вместе составляют сторону $AB$, поэтому $k_1+k_2=1$.

Пусть $S$ — площадь треугольника $ABC$. Площадь подобного треугольника равна $S$, умноженной на квадрат коэффициента:

$$4=k_1^2S,\qquad 25=k_2^2S\quad\Longrightarrow\quad k_1\sqrt S=2,\qquad k_2\sqrt S=5.$$

Складываю: $(k_1+k_2)\sqrt S=2+5$, то есть $\sqrt S=7$ и $S=49$.

Параллелограмм — это то, что остаётся от треугольника после двух маленьких треугольников: $S_{PNCM}=49-4-25=20$.

Проверю другим способом. Стороны параллелограмма $CN=PM=k_2\cdot AC$ и $CM=PN=k_1\cdot BC$, угол между ними — угол $C$. Поэтому

$$S_{PNCM}=CN\cdot CM\cdot\sin C=k_1k_2\cdot AC\cdot BC\cdot\sin C=2k_1k_2\,S.$$

Здесь $k_1=\dfrac27$, $k_2=\dfrac57$, $S=49$: $2\cdot\dfrac27\cdot\dfrac57\cdot49=20$ — то же самое.