Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042417

Пусть $O_1$ — центр данной окружности. Окружность вписана в угол $ABC$, поэтому $O_1$ лежит на биссектрисе этого угла. Радиус, проведённый в точку касания $C$, перпендикулярен $BC$: $O_1C\perp BC$, $O_1C=2$.

В прямоугольном треугольнике $BCO_1$ угол при $B$ равен половине угла $ABC$:

$$\operatorname{tg}\dfrac{B}{2}=\dfrac{O_1C}{BC}=\dfrac26=\dfrac13.$$

Тангенс всего угла — по формуле двойного угла:

$$\operatorname{tg}B=\dfrac{2\cdot\frac13}{1-\frac19}=\dfrac{\frac23}{\frac89}=\dfrac34.$$

В треугольнике $ABC$ катет $AC$ лежит против угла $B$: $AC=BC\cdot\operatorname{tg}B=6\cdot\dfrac34=4{,}5$. Гипотенуза $AB=\sqrt{36+20{,}25}=\sqrt{56{,}25}=7{,}5$.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полусумме катетов без гипотенузы:

$$r=\dfrac{BC+AC-AB}{2}=\dfrac{6+4{,}5-7{,}5}{2}=1{,}5.$$

Проверю другим способом. Вписанная окружность треугольника тоже вписана в угол $B$, её центр на той же биссектрисе. Она касается $BC$ на расстоянии $p-AC$ от $B$, где $p=\dfrac{6+4{,}5+7{,}5}{2}=9$ — полупериметр, то есть на расстоянии $9-4{,}5=4{,}5$. Обе окружности вписаны в один угол, поэтому их радиусы относятся как расстояния от $B$ до точек касания: $\dfrac{r}{2}=\dfrac{4{,}5}{6}$, откуда $r=1{,}5$ — совпадает.