Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042416

Точки $P$ и $Q$ лежат на окружности с диаметром $BC$ и не совпадают с $B$ и $C$. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle BPC=90^\circ$ и $\angle BQC=90^\circ$.

Значит, $BP\perp AC$ и $CQ\perp AB$: отрезки $BP$ и $CQ$ — высоты треугольника $ABC$.

Из прямоугольного треугольника $ABP$ (прямой угол при $P$): $AP=AB\cdot\cos\alpha$. Из прямоугольного треугольника $ACQ$ (прямой угол при $Q$): $AQ=AC\cdot\cos\alpha$.

Площади треугольников $APQ$ и $ABC$ с общим углом $A$ запишу по формуле «половина произведения двух сторон на синус угла между ними»:

$$\dfrac{S_{APQ}}{S_{ABC}}=\dfrac{\frac12\cdot AP\cdot AQ\cdot\sin\alpha}{\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\alpha}=\dfrac{AP}{AB}\cdot\dfrac{AQ}{AC}=\cos\alpha\cdot\cos\alpha=\cos^2\alpha.$$

Подставляю $\cos\alpha=0{,}8$: $\cos^2\alpha=0{,}8^2=0{,}64$.

Проверю через подобие. Отношения $\dfrac{AP}{AB}$ и $\dfrac{AQ}{AC}$ равны одному числу $\cos\alpha$, а угол $A$ общий, поэтому треугольник $APQ$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $k=\cos\alpha=0{,}8$ (стороне $AP$ соответствует $AB$, стороне $AQ$ — $AC$). Отношение площадей подобных треугольников равно $k^2=0{,}64$ — то же самое.