Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042414

Прямая $MN$ делит треугольник на две части: треугольник $MBN$ у вершины $B$ и трапецию $AMNC$ у основания. В условии не сказано, какая из частей больше, поэтому разберу оба случая и сравню.

Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$: угол $B$ общий, а $\angle BMN=\angle BAC$ как соответственные при параллельных $MN$ и $AC$ и секущей $AB$. Коэффициент подобия равен $\dfrac{BM}{AB}$, а отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента.

Трапеция исходному треугольнику не подобна, поэтому сравнивать надо треугольник $MBN$ со всем треугольником $ABC$. Части относятся как $2:1$, значит, вся площадь состоит из $3$ одинаковых долей $S$.

Случай 1. Больше треугольник: $S_{MBN}=2S$, $S_{AMNC}=S$, $S_{ABC}=3S$. Тогда

$$\left(\dfrac{BM}{AB}\right)^2=\dfrac{2S}{3S}=\dfrac23,\qquad BM=3\sqrt6\cdot\sqrt{\dfrac23}=3\sqrt{\dfrac{6\cdot2}{3}}=3\sqrt4=6.$$

Случай 2. Больше трапеция: $S_{MBN}=S$, $S_{ABC}=3S$. Тогда

$$\left(\dfrac{BM}{AB}\right)^2=\dfrac13,\qquad BM=\dfrac{3\sqrt6}{\sqrt3}=3\sqrt2.$$

Сравню: $3\sqrt2=\sqrt{18}$, а $6=\sqrt{36}$, поэтому $3\sqrt2\lt6$. Наибольшее возможное значение $BM$ равно $6$.

Заодно отвечу на вопрос исходной задачи — в каком отношении прямая делит боковую сторону, считая от вершины. В первом случае $\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}=\sqrt2(\sqrt3+\sqrt2)=\sqrt6+2$, во втором $\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{1}{\sqrt3-1}=\dfrac{\sqrt3+1}{2}$.

Проверка площадью для первого случая: $\left(\dfrac{6}{3\sqrt6}\right)^2=\dfrac{36}{54}=\dfrac23$, значит, треугольник $MBN$ занимает $\dfrac23$ площади, а трапеция — $\dfrac13$; части относятся как $2:1$ — верно.