Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042413

Обозначу треугольник $ABC$ с основанием $AC=36$, а отрезок прямой, параллельной основанию, — $MN$: точка $M$ лежит на стороне $AB$, точка $N$ — на стороне $BC$.

Треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум углам: угол $B$ у них общий, а $\angle BMN=\angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$. Коэффициент подобия — отношение соответственных сторон $\dfrac{MN}{AC}$.

Прямая делит площадь пополам, значит, маленький треугольник $MBN$ занимает половину площади всего треугольника:

$$\dfrac{S_{MBN}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

$$\left(\dfrac{MN}{AC}\right)^2=\dfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad MN^2=\dfrac{AC^2}{2}=\dfrac{36^2}{2}=\dfrac{1296}{2}=648.$$

Сама длина отрезка $MN=\sqrt{648}=\sqrt{324\cdot2}=18\sqrt2$, а в ответ по условию идёт её квадрат.

Проверю другим способом — через высоты. Пусть высота треугольника $ABC$ к основанию равна $h$. У подобного треугольника $MBN$ высота во столько же раз меньше, во сколько $MN$ меньше $36$, то есть равна $h\cdot\dfrac{MN}{36}$. Тогда

$$S_{MBN}=\dfrac12\cdot MN\cdot h\cdot\dfrac{MN}{36}=\dfrac{MN^2\cdot h}{72},\qquad S_{ABC}=\dfrac12\cdot36\cdot h=18h.$$

Условие «площадь пополам»: $\dfrac{MN^2\cdot h}{72}=9h$, откуда $MN^2=9\cdot72=648$ — то же самое.