Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042412

Обозначу $AF=6y$, $FC=5y$. Через точку $E$ проведу прямую, параллельную $BF$, до пересечения с $AC$ в точке $K$.

Теорема Фалеса для угла с вершиной $A$ (стороны $AE$ и $AC$, параллельные прямые $OF$ и $EK$): $\dfrac{AF}{FK}=\dfrac{AO}{OE}=3$, поэтому $FK=\dfrac{6y}{3}=2y$.

Точка $K$ лежит между $F$ и $C$, так как $FK=2y\lt FC=5y$. Значит, $KC=5y-2y=3y$.

Теорема Фалеса для угла с вершиной $C$ (стороны $CB$ и $CA$, параллельные прямые $BF$ и $EK$):

$$\dfrac{CE}{EB}=\dfrac{CK}{KF}=\dfrac{3y}{2y}=\dfrac32.$$

Значит, точка $E$ делит $BC$ в отношении $BE:EC=2:3$, и $\dfrac{EC}{BE}=1{,}5$.

Проверка теоремой Менелая для треугольника $AEC$ и прямой $BF$, которая пересекает $AE$ в точке $O$, $AC$ — в точке $F$ и продолжение $EC$ — в точке $B$:

$$\dfrac{AO}{OE}\cdot\dfrac{EB}{BC}\cdot\dfrac{CF}{FA}=1\quad\Rightarrow\quad 3\cdot\dfrac{EB}{BC}\cdot\dfrac56=1\quad\Rightarrow\quad \dfrac{EB}{BC}=\dfrac25.$$

Тогда $EC=\dfrac35BC$ и $\dfrac{EC}{BE}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$ — совпало.