Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042411

Треугольник равнобедренный с основанием $AC$, поэтому высота $BE$ к основанию является и медианой: $E$ — середина $AC$.

Обозначу $BD=x$, тогда $DC=4x$. Через точку $E$ проведу прямую, параллельную $AD$, до пересечения с $BC$ в точке $K$.

Теорема Фалеса для угла с вершиной $C$: параллельные прямые $AD$ и $EK$ отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как $CE=EA$, то и $CK=KD$, то есть $DK=KC=\dfrac{4x}{2}=2x$.

Теорема Фалеса для угла с вершиной $B$: на его сторонах $BE$ и $BC$ параллельные прямые $MD$ и $EK$ отсекают пропорциональные отрезки:

$$\dfrac{BM}{ME}=\dfrac{BD}{DK}=\dfrac{x}{2x}=\dfrac12=0{,}5.$$

Проверка координатами. Помещу $E$ в начало: $A(-1;\ 0)$, $C(1;\ 0)$, $B(0;\ h)$. Точка $D$ отстоит от $B$ на пятую часть $BC$: $D=\left(\dfrac15;\ \dfrac{4h}{5}\right)$.

Прямая $AD$ пересекает ось ординат (высоту $BE$) там, где пройдена доля $t$ пути от $A$ к $D$ с $-1+\dfrac65t=0$, то есть $t=\dfrac56$. Высота точки: $\dfrac56\cdot\dfrac{4h}{5}=\dfrac{2h}{3}$. Тогда $ME=\dfrac{2h}{3}$, $BM=h-\dfrac{2h}{3}=\dfrac h3$ и $\dfrac{BM}{ME}=\dfrac12$ — при любой высоте $h$.