Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042410

Пусть $CL$ — биссектриса, $AC=3k$, $BC=2k$. Биссектриса делит угол $120^\circ$ на два угла по $60^\circ$ и разбивает треугольник $ABC$ на треугольники $ACL$ и $BCL$.

Площадь большого треугольника равна сумме площадей двух маленьких. Каждую считаю через две стороны и синус угла между ними:

$$\dfrac12\cdot3k\cdot2k\cdot\sin120^\circ=\dfrac12\cdot3k\cdot3\cdot\sin60^\circ+\dfrac12\cdot2k\cdot3\cdot\sin60^\circ.$$

Синусы углов $120^\circ$ и $60^\circ$ равны, поэтому делю обе части на $\dfrac12\sin60^\circ$:

$$6k^2=9k+6k=15k\quad\Rightarrow\quad k=\dfrac{15}{6}=\dfrac52.$$

Тогда $BC=2k=5$, а $AC=3k=7{,}5$.

Проверю координатами. Пусть $C=(0;0)$, $A=(7{,}5;0)$, $B=\left(5\cos120^\circ;\,5\sin120^\circ\right)=\left(-2{,}5;\,2{,}5\sqrt3\right)$. Точка $L$ делит $AB$ в отношении $AL:LB=AC:BC=3:2$, то есть $L=A+\dfrac35(B-A)=\left(7{,}5-6;\,1{,}5\sqrt3\right)=\left(1{,}5;\,1{,}5\sqrt3\right)$. Тогда $CL=\sqrt{2{,}25+6{,}75}=\sqrt9=3$ — как в условии.