Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042409

Обозначения стандартные: $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ лежат против углов $\alpha=\angle A$, $\beta=\angle B$, $\gamma=\angle C$. По условию $\angle A=2\angle B$.

Проведу биссектрису $AL$ угла $A$ ($L$ на стороне $BC$). Она делит угол $A$ на два угла по $\beta$. В треугольнике $ABL$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны $\beta$, поэтому он равнобедренный: $AL=BL$.

Треугольники $CAL$ и $CBA$ подобны по двум углам: угол $C$ у них общий, а $\angle CAL=\beta=\angle CBA$. Вершины соответствуют так: $C\to C$, $A\to B$, $L\to A$. Из подобия

$$\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CL}{CA}=\dfrac{AL}{BA},\qquad\text{то есть}\qquad \dfrac ba=\dfrac{CL}{b}=\dfrac{AL}{c}.$$

Отсюда $CL=\dfrac{b^2}{a}$ и $AL=\dfrac{bc}{a}$, а значит и $BL=AL=\dfrac{bc}{a}$.

Сторона $BC$ складывается из двух отрезков: $a=BL+CL=\dfrac{bc}{a}+\dfrac{b^2}{a}$. Умножаю на $a$:

$$a^2=b^2+bc=b(b+c).$$

Подставляю $b=4$, $c=5$: $a^2=16+20=36$, $a=6$.

Проверка по теореме косинусов. $\cos\alpha=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{16+25-36}{40}=\dfrac18$, $\cos\beta=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{36+25-16}{60}=\dfrac34$.

Косинус двойного угла: $\cos2\beta=2\cos^2\beta-1=2\cdot\dfrac{9}{16}-1=\dfrac18=\cos\alpha$. Оба угла $\alpha$ и $2\beta$ лежат между $0^\circ$ и $180^\circ$ (угол $\beta$ острый, $\cos\beta\gt\dfrac{\sqrt2}{2}$, поэтому $2\beta\lt90^\circ$), а на этом промежутке косинус различает углы. Значит, $\alpha=2\beta$ — условие выполнено.