Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042408

Пусть медианы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$: точка $D$ — середина $BC$, точка $E$ — середина $AC$. Обозначу $OE=x$, $OD=y$. Медианы делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины, поэтому $OB=2x$, $OA=2y$.

Медианы перпендикулярны, поэтому все четыре угла при точке $O$ прямые, и треугольники $AOB$, $AOE$, $BOD$ прямоугольные с прямым углом при $O$.

Гипотенузы двух маленьких треугольников — половины данных сторон: $AE=\dfrac{AC}{2}=\dfrac32$ и $BD=\dfrac{BC}{2}=2$. Теорема Пифагора:

$$\triangle AOE:\ (2y)^2+x^2=\dfrac94;\qquad \triangle BOD:\ (2x)^2+y^2=4.$$

Складываю равенства: $5x^2+5y^2=\dfrac94+4=\dfrac{25}{4}$, откуда $x^2+y^2=\dfrac54$.

В треугольнике $AOB$: $$AB^2=OA^2+OB^2=4y^2+4x^2=4\cdot\dfrac54=5.$$

Проверка другим способом — через формулу длины медианы. При $a=BC=4$, $b=AC=3$, $c^2=AB^2=5$: $m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\dfrac{18+10-16}{4}=3$, $m_b^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{4}=\dfrac{32+10-9}{4}=\dfrac{33}{4}$.

Тогда $OA^2=\dfrac49m_a^2=\dfrac43$, $OB^2=\dfrac49m_b^2=\dfrac{11}{3}$, и $OA^2+OB^2=\dfrac{4+11}{3}=5=AB^2$. По обратной теореме Пифагора угол $AOB$ прямой — как и требует условие.