Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042407

Пусть $AB$ — основание, $\angle A=68^\circ$, $\angle B=42^\circ$; из вершины $C$ проведены высота $CH$ и биссектриса $CL$.

Третий угол: $\angle C=180^\circ-68^\circ-42^\circ=70^\circ$. Биссектриса делит его пополам: $\angle ACL=35^\circ$.

Оба угла при основании острые, поэтому основание высоты $H$ лежит на отрезке $AB$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ острые углы в сумме дают $90^\circ$:

$$\angle ACH=90^\circ-\angle A=90^\circ-68^\circ=22^\circ.$$

Оба луча $CH$ и $CL$ отложены от стороны $CA$ внутрь угла $C$, и $\angle ACH=22^\circ\lt35^\circ=\angle ACL$. Значит, высота лежит между стороной $CA$ и биссектрисой, и

$$\angle HCL=\angle ACL-\angle ACH=35^\circ-22^\circ=13^\circ.$$

Проверка — отсчёт от другой боковой стороны: $\angle BCH=90^\circ-42^\circ=48^\circ$, $\angle BCL=35^\circ$, разность $48^\circ-35^\circ=13^\circ$ — совпало. И по общей формуле $\dfrac{|\alpha-\beta|}{2}=\dfrac{68^\circ-42^\circ}{2}=13^\circ$.