Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042406

Пусть $\angle A=64^\circ$, а $BL$ и $CM$ — биссектрисы углов $B$ и $C$, пересекающиеся в точке $O$.

По отдельности углы $B$ и $C$ неизвестны, но их сумма известна: $\angle B+\angle C=180^\circ-64^\circ=116^\circ$.

Биссектрисы отрезают половины этих углов, поэтому в треугольнике $BOC$:

$$\angle OBC+\angle OCB=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}=\dfrac{116^\circ}{2}=58^\circ.$$

Сумма углов треугольника $BOC$ равна $180^\circ$, значит $\angle BOC=180^\circ-58^\circ=122^\circ$. Этот угол тупой, а острый угол между прямыми $BL$ и $CM$ — смежный с ним: $180^\circ-122^\circ=58^\circ$.

В общем виде: $\angle BOC=90^\circ+\dfrac{\alpha}{2}$, а острый угол между биссектрисами равен $90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{180^\circ-\alpha}{2}$. При $\alpha=64^\circ$ это $\dfrac{116^\circ}{2}=58^\circ$.

Проверка на конкретном треугольнике: пусть $\angle B=50^\circ$, $\angle C=66^\circ$. Тогда $\angle OBC=25^\circ$, $\angle OCB=33^\circ$, $\angle BOC=180^\circ-58^\circ=122^\circ$, смежный угол $58^\circ$. С другими углами, например $40^\circ$ и $76^\circ$, получится $20^\circ+38^\circ=58^\circ$ и опять $122^\circ$ — ответ не зависит от того, как $116^\circ$ делятся между двумя углами.