Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042404

Сначала нахожу третью сторону треугольника $ABC$ по теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle BAC=169+400-2\cdot13\cdot20\cdot\dfrac{16}{65}=569-128=441,$$

значит, $BC=21$. По условию $DC:BC=1:3$, поэтому $DC=7$ и $BD=21-7=14$.

В треугольнике $ABD$ известны $AB=13$ и $BD=14$, а угол $B$ у него общий с треугольником $ABC$. Косинус этого угла нахожу в большом треугольнике, где известны все три стороны:

$$\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{169+441-400}{2\cdot13\cdot21}=\dfrac{210}{546}=\dfrac{5}{13}.$$

Третья сторона $AD$ — снова по теореме косинусов:

$$AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot\cos B=169+196-2\cdot13\cdot14\cdot\dfrac{5}{13}=365-140=225,\qquad AD=15.$$

Синус угла $B$: $\sin B=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}$. Площадь треугольника $ABD$:

$$S=\dfrac12\cdot AB\cdot BD\cdot\sin B=\dfrac12\cdot13\cdot14\cdot\dfrac{12}{13}=84.$$

Полупериметр $p=\dfrac{13+14+15}{2}=21$, и по формуле $S=pr$:

$$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{84}{21}=4.$$

Проверю площадь другим путём. В треугольнике $ABC$: $\sin A=\sqrt{1-\dfrac{256}{4225}}=\dfrac{\sqrt{3969}}{65}=\dfrac{63}{65}$, $S_{ABC}=\dfrac12\cdot13\cdot20\cdot\dfrac{63}{65}=126$. Треугольники $ABD$ и $ABC$ имеют общую высоту из $A$, поэтому $S_{ABD}=\dfrac{BD}{BC}\cdot S_{ABC}=\dfrac23\cdot126=84$ — совпало. И по формуле Герона для сторон $13$, $14$, $15$: $\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84$.