Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042402

Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $FGH$, а $KF$ и $KH$ — перпендикуляры к сторонам угла. Значит, треугольники $GFK$ и $GHK$ прямоугольные: прямые углы при вершинах $F$ и $H$, общая гипотенуза $GK=17$.

Катет $GF$ нахожу по теореме Пифагора:

$$GF=\sqrt{GK^2-KF^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15.$$

Треугольники $GFK$ и $GHK$ равны по гипотенузе и катету ($KF=KH=8$), поэтому $GH=GF=15$. Угол $KGF$ — половина угла $FGH$, и его косинус $\cos\angle KGF=\dfrac{GF}{GK}=\dfrac{15}{17}$.

Точка $F$ лежит на отрезке $GL$, а точка $H$ — на отрезке $GM$, поэтому $GL=GF+FL=15+2=17$ и $GM=GH+HM=15+19=34$. Угол $LGM$ — это тот же угол $FGH$, он вдвое больше угла $KGF$.

Косинус двойного угла:

$$\cos\angle LGM=2\cos^2\angle KGF-1=2\cdot\dfrac{225}{289}-1=\dfrac{450-289}{289}=\dfrac{161}{289}.$$

Теорема косинусов в треугольнике $LGM$:

$$ML^2=GL^2+GM^2-2\cdot GL\cdot GM\cdot\cos\angle LGM=289+1156-2\cdot17\cdot34\cdot\dfrac{161}{289}.$$

Так как $17\cdot34=578=2\cdot289$, последнее слагаемое равно $2\cdot2\cdot161=644$. Итого $ML^2=1445-644=801$.

Проверка координатами. Направлю ось абсцисс по биссектрисе $GK$, точку $G$ помещу в начало координат. Половина угла имеет $\cos=\dfrac{15}{17}$ и $\sin=\dfrac{8}{17}$, поэтому $L=17\cdot\left(\dfrac{15}{17};\ \dfrac{8}{17}\right)=(15;\ 8)$ и $M=34\cdot\left(\dfrac{15}{17};\ -\dfrac{8}{17}\right)=(30;\ -16)$.

$$ML^2=(30-15)^2+(-16-8)^2=225+576=801$$ — совпало.