Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042401

Стороны $a=6$ и $b=5$ заключают угол $\gamma$, лежащий против третьей стороны $c$. Площадь через две стороны и угол между ними:

$$S=\dfrac12ab\sin\gamma\quad\Rightarrow\quad 12=\dfrac12\cdot6\cdot5\cdot\sin\gamma=15\sin\gamma,\qquad\sin\gamma=\dfrac{12}{15}=\dfrac45.$$

По синусу угол восстанавливается двумя способами: острый угол с $\cos\gamma=\dfrac35$ или тупой с $\cos\gamma=-\dfrac35$ (так как $1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$).

Выбрать помогает условие про медиану. Медиана $m_c$, проведённая к стороне $c$, удовлетворяет формуле $4m_c^2=2a^2+2b^2-c^2$. Неравенство $c\lt2m_c$ равносильно $c^2\lt4m_c^2$, то есть $c^2\lt2a^2+2b^2-c^2$, или $c^2\lt a^2+b^2$. По теореме косинусов это значит, что $\cos\gamma\gt0$ — угол $\gamma$ острый.

Итак, $\cos\gamma=\dfrac35$, и по теореме косинусов

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma=36+25-2\cdot6\cdot5\cdot\dfrac35=61-36=25,\qquad c=5.$$

Полупериметр $p=\dfrac{6+5+5}{2}=8$. Из формулы $S=pr$:

$$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{12}{8}=1{,}5.$$

Проверю другим способом. Треугольник со сторонами $5$, $5$, $6$ равнобедренный, высота к основанию $6$ делит его пополам: $h=\sqrt{25-9}=4$, площадь $\dfrac12\cdot6\cdot4=12$ — как в условии. Медиана к стороне $c=5$: $4m_c^2=72+50-25=97$, $2m_c=\sqrt{97}\gt5$ — условие выполнено. А в тупом случае $c^2=61+36=97$ и $4m_c^2=122-97=25$, то есть $2m_c=5\lt\sqrt{97}=c$ — условие нарушено, второй треугольник не подходит.