Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042400

Пусть $AB=7$, $BC=9$, угол $B$ — между ними, третья сторона — $AC$, а $BM$ — медиана к ней.

Площадь через две стороны и угол между ними: $S=\dfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B$. Отсюда

$$\sin B=\dfrac{2S}{AB\cdot BC}=\dfrac{2\cdot14\sqrt5}{7\cdot9}=\dfrac{28\sqrt5}{63}=\dfrac{4\sqrt5}{9}.$$

Тогда $\cos^2B=1-\dfrac{80}{81}=\dfrac{1}{81}$, то есть $\cos B=\dfrac19$ или $\cos B=-\dfrac19$. Какой знак — решает последнее условие задачи.

По условию $AC\gt2BM$, то есть $BM\lt\dfrac{AC}{2}=AM=MC$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике $ABM$ сторона $AM$ больше $BM$, поэтому $\angle ABM\gt\angle BAM$. В треугольнике $CBM$ аналогично $\angle CBM\gt\angle BCM$.

Складываю: $\angle B\gt\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B$, откуда $2\angle B\gt180^\circ$ и $\angle B\gt90^\circ$. Угол $B$ тупой, значит, $\cos B=-\dfrac19$.

Теорема косинусов:

$$AC^2=49+81-2\cdot7\cdot9\cdot\left(-\dfrac19\right)=130+14=144,\qquad AC=12.$$

Радиус вписанной окружности — из формулы $S=pr$, где $p$ — полупериметр: $p=\dfrac{7+9+12}{2}=14$, $r=\dfrac{14\sqrt5}{14}=\sqrt5$, и $r^2=5$.

Проверю площадь формулой Герона: $S=\sqrt{14\cdot(14-7)\cdot(14-9)\cdot(14-12)}=\sqrt{14\cdot7\cdot5\cdot2}=\sqrt{980}=14\sqrt5$ — совпадает с условием. Медиана к стороне $12$: $BM^2=\dfrac{2\cdot49+2\cdot81-144}{4}=\dfrac{116}{4}=29$, $BM=\sqrt{29}\lt6$, так что $AC=12\gt2BM$ — условие выполнено. При $\cos B=\dfrac19$ вышло бы $AC^2=116$ и $BM^2=\dfrac{2\cdot49+2\cdot81-116}{4}=36$, то есть $2BM=12\gt\sqrt{116}$ — условие нарушено, этот вариант отброшен верно.