Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042399

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: $AM=AN=6$, $CD=CN=2$, $BM=BD$. Обозначу $BM=BD=x$.

Тогда стороны треугольника: $AC=6+2=8$, $BC=x+2$, $AB=x+6$.

Теорема косинусов для стороны $AB$, лежащей против угла $C$:

$$(x+6)^2=8^2+(x+2)^2-2\cdot8\cdot(x+2)\cdot\left(-\dfrac14\right).$$

Косинус отрицательный, поэтому последнее слагаемое превращается в $+4(x+2)$. Раскрываю скобки: $x^2+12x+36=64+x^2+4x+4+4x+8$, то есть $x^2+12x+36=x^2+8x+76$. Отсюда $4x=40$, $x=10$.

Стороны: $AB=16$, $BC=12$, $AC=8$, и $BM=BD=10$.

Треугольник $MBD$ равнобедренный: боковые стороны $BM=BD=10$, угол между ними — угол $B$ треугольника $ABC$. Его косинус найду по теореме косинусов в треугольнике $ABC$:

$$\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{256+144-64}{2\cdot16\cdot12}=\dfrac{336}{384}=\dfrac78.$$

Теорема косинусов в треугольнике $MBD$:

$$MD^2=10^2+10^2-2\cdot10\cdot10\cdot\dfrac78=200-175=25,\qquad MD=5.$$

Проверю другим способом. Высота равнобедренного треугольника $MBD$, проведённая из $B$, делит его на два прямоугольных треугольника с углом $\dfrac{B}{2}$ при вершине, поэтому $MD=2\cdot BM\cdot\sin\dfrac{B}{2}$. По формуле половинного угла $\sin^2\dfrac{B}{2}=\dfrac{1-\cos B}{2}=\dfrac{1-\frac78}{2}=\dfrac{1}{16}$, то есть $\sin\dfrac{B}{2}=\dfrac14$. Тогда $MD=2\cdot10\cdot\dfrac14=5$ — совпадает.