Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042396

Пусть $C$ — вершина прямого угла, $O$ — центр вписанной окружности радиуса $r$, $H$ и $M$ — точки касания с катетами.

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны катетам, а угол $C$ прямой. Поэтому $CHOM$ — квадрат со стороной $r$. Искомое расстояние $CO$ — его диагональ, и по теореме Пифагора

$$CO^2=r^2+r^2=2r^2.$$

Найду $r$. Гипотенуза: $c^2=8^2+15^2=64+225=289$, $c=17$.

У вершины прямого угла отрезки касательных равны $r$, поэтому от катетов остаются куски $8-r$ и $15-r$. Это отрезки касательных из острых вершин, и вместе они составляют гипотенузу:

$$(8-r)+(15-r)=17\ \Rightarrow\ 23-2r=17\ \Rightarrow\ r=3.$$

Тогда $CO^2=2\cdot3^2=18$.

Проверю радиус через площадь. $S=\dfrac{8\cdot15}{2}=60$, полупериметр $p=\dfrac{8+15+17}{2}=20$, и $S=rp$, откуда $r=\dfrac{60}{20}=3$ — то же самое, значит, $CO^2=18$.