Задание 2 ЕГЭ по математике №00042391

Раскрываю скобки по распределительному закону:

$$\vec a\cdot\vec b=(3\vec p+2\vec q)\cdot(\vec p-4\vec q)=3\,\vec p\cdot\vec p-12\,\vec p\cdot\vec q+2\,\vec q\cdot\vec p-8\,\vec q\cdot\vec q.$$

Скалярный квадрат единичного вектора равен квадрату его длины: $\vec p\cdot\vec p=1$, $\vec q\cdot\vec q=1$. Векторы $\vec p$ и $\vec q$ перпендикулярны, поэтому $\vec p\cdot\vec q=\vec q\cdot\vec p=0$.

$$\vec a\cdot\vec b=3\cdot1-12\cdot0+2\cdot0-8\cdot1=3-8=-5.$$

Проверка через координаты: возьму $\vec p(1;\,0)$ и $\vec q(0;\,1)$ — они единичные и перпендикулярные. Тогда $\vec a(3;\,2)$, $\vec b(1;\,-4)$, и $\vec a\cdot\vec b=3\cdot1+2\cdot(-4)=3-8=-5$.