Задание 2 ЕГЭ по математике №00042390

Угол $\varphi$ между векторами найду через скалярное произведение: $\vec a\cdot(\vec b-\vec c)=|\vec a|\cdot|\vec b-\vec c|\cdot\cos\varphi$.

По определению скалярное произведение — произведение длин на косинус угла между векторами. Для единичных векторов с углом $60^\circ$:

$$\vec a\cdot\vec b=1\cdot1\cdot\cos60^\circ=\dfrac12,\qquad \vec a\cdot\vec c=\dfrac12.$$

Раскрываю скобки:

$$\vec a\cdot(\vec b-\vec c)=\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec c=\dfrac12-\dfrac12=0.$$

Вектор $\vec b-\vec c$ не нулевой: $|\vec b-\vec c|^2=1-2\cdot\dfrac12+1=1$. Значит, $\cos\varphi=0$ и $\varphi=90^\circ$.

Проверка геометрически: отложу векторы от одной точки — их концы вместе с началом образуют правильный тетраэдр с ребром $1$ (все рёбра $1$, так как $|\vec b-\vec c|=1$ и т. д.). Вектор $\vec b-\vec c$ идёт по ребру, противоположному ребру вдоль $\vec a$, а противоположные рёбра правильного тетраэдра перпендикулярны.