Задание 2 ЕГЭ по математике №00042389

Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Оба вектора ненулевые при любом $n$: у $\vec a$ вторая координата $2$, у $\vec b$ третья координата $1$.

Скалярное произведение — сумма произведений соответствующих координат:

$$\vec a\cdot\vec b=n\cdot n+2\cdot(-2n)+4\cdot1=n^2-4n+4.$$

Приравниваю к нулю. Левая часть — квадрат разности:

$$n^2-4n+4=(n-2)^2=0\quad\Longrightarrow\quad n=2.$$

Проверка подстановкой: $\vec a(2;\,2;\,4)$, $\vec b(2;\,-4;\,1)$, $\vec a\cdot\vec b=4-8+4=0$ — векторы перпендикулярны.