Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042373

Основание — правильный треугольник со стороной $12$; описанный цилиндр опирается на описанную окружность (радиус $R$), вписанный — на вписанную (радиус $r$). Высота обоих цилиндров — высота призмы: $NN'\perp MN$ и $\angle N'MN=45^\circ$, поэтому $h=MN=12$.

Боковая поверхность цилиндра — развёрнутый прямоугольник: длина окружности основания, умноженная на высоту, $S_{\text{бок}}=2\pi\cdot\text{радиус}\cdot h$.

Радиусы: центр правильного треугольника делит его высоту $6\sqrt3$ в отношении $2:1$ от вершины, поэтому $R=4\sqrt3$, $r=2\sqrt3$.

$$S_{\text{оп}}=2\pi\cdot4\sqrt3\cdot12=96\sqrt3\,\pi,\qquad S_{\text{вп}}=2\pi\cdot2\sqrt3\cdot12=48\sqrt3\,\pi.$$

Доля боковой поверхности вписанного цилиндра от описанного:

$$\dfrac{48\sqrt3\,\pi}{96\sqrt3\,\pi}\cdot100\%=\dfrac12\cdot100\%=50\%.$$

Проверка в общем виде: при общей высоте отношение боковых поверхностей равно $\dfrac{r}{R}=\dfrac12$ — те же $50$ процентов.