Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042372

Основание призмы — правильный треугольник $MNP$ со стороной $12$. Описанный цилиндр опирается на описанную окружность треугольника (радиус $R$), вписанный — на вписанную (радиус $r$). Высота у обоих цилиндров одна — высота призмы $h$.

Высоту найду из угла: $NN'$ перпендикулярен основанию, $MN$ — проекция $MN'$, угол $N'MN=45^\circ$, поэтому $h=MN=12$.

В правильном треугольнике центры обеих окружностей совпадают с точкой пересечения медиан, которая делит медиану в отношении $2:1$ от вершины. Высота треугольника $\dfrac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3$, поэтому

$$R=\dfrac23\cdot6\sqrt3=4\sqrt3,\qquad r=\dfrac13\cdot6\sqrt3=2\sqrt3.$$

Объёмы цилиндров:

$$V_{\text{оп}}=\pi R^2h=\pi\cdot48\cdot12=576\pi,\qquad V_{\text{вп}}=\pi r^2h=\pi\cdot12\cdot12=144\pi.$$

Описанный цилиндр больше вписанного на $576\pi-144\pi=432\pi$. В процентах от объёма вписанного цилиндра:

$$\dfrac{432\pi}{144\pi}\cdot100\%=3\cdot100\%=300\%.$$

Проверка в общем виде: $\dfrac{V_{\text{оп}}}{V_{\text{вп}}}=\dfrac{R^2}{r^2}=2^2=4$, то есть объём больше в $4$ раза, а значит, на $(4-1)\cdot100=300$ процентов.