Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042371

Цилиндр описан около призмы: окружности его оснований описаны около правильных шестиугольников, а образующая равна высоте призмы $l$. У правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне: $R=a$.

Боковая грань $ABB'A'$ параллельна оси цилиндра, а её диагональ с осью — скрещивающиеся прямые. Расстояние между ними равно расстоянию от оси до плоскости грани. Грань перпендикулярна основанию, поэтому это расстояние равно расстоянию $OH$ от центра основания до стороны $AB$: $OH=2\sqrt3$.

Шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$, и $OH$ — высота одного из них:

$$OH=\dfrac{a\sqrt3}{2}=2\sqrt3\quad\Rightarrow\quad a=4,\quad R=4.$$

Образующая из площади боковой поверхности цилиндра:

$$2\pi Rl=16\pi\sqrt3\quad\Rightarrow\quad l=\dfrac{16\sqrt3}{2\cdot4}=2\sqrt3.$$

Площадь основания призмы — шесть равносторонних треугольников:

$$S_{\text{осн}}=6\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot4^2=24\sqrt3.$$

Объём призмы:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot l=24\sqrt3\cdot2\sqrt3=48\cdot3=144.$$

Проверка площади основания: правильный шестиугольник описан около окружности радиуса $OH$, и $S=\dfrac12\cdot P\cdot OH=\dfrac12\cdot24\cdot2\sqrt3=24\sqrt3$ — совпадает.