Цилиндр — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042370

Диаметры $AB$ и $CD$ одного круга равны и делятся центром пополам. Четырёхугольник $ACBD$, у которого диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, — прямоугольник. Значит, $AC\parallel BD$, и угол между прямыми $A'C$ и $BD$ равен углу между $A'C$ и $AC$, то есть $\angle A'CA$.

Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при $C$ (вписанный угол опирается на диаметр $AB=12$). По теореме Пифагора:

$$AC^2=AB^2-BC^2=144-84=60.$$

Образующая $AA'=2$ перпендикулярна основанию, поэтому треугольник $A'AC$ прямоугольный с прямым углом при $A$:

$$A'C^2=AC^2+AA'^2=60+4=64,\qquad A'C=8.$$

Синус угла $A'CA$ — отношение противолежащего катета $AA'$ к гипотенузе $A'C$:

$$\sin\angle A'CA=\dfrac{2}{8}=0{,}25.$$

Проверка через косинус: $\cos\angle A'CA=\dfrac{\sqrt{60}}{8}$, и $\sin^2=1-\dfrac{60}{64}=\dfrac{4}{64}=\dfrac{1}{16}$, $\sin=\dfrac14=0{,}25$.