Через образующую цилиндра AB проведены два сечения: одно — по диаметру AM, другое — по хорде AD. Угол между плоскостями этих сечений равен 60 в степени °. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 60пи. Найдите площадь того из данных сечений цилиндра, которое проходит через хорду AD.

Цилиндр — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042368

Задание №3. Стереометрия

Цилиндр

№2. Задание 3

ID: 00042368

Через образующую цилиндра $$AB$$ проведены два сечения: одно — по диаметру $$AM$$ , другое — по хорде $$AD$$ . Угол между плоскостями этих сечений равен $60^\circ$ . Площадь боковой поверхности цилиндра равна $60\pi$ . Найдите площадь того из данных сечений цилиндра, которое проходит через хорду $$AD$$ .

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Обозначу радиус основания $$R$$ , образующую $$AB=l$$ . Сечение через хорду $$AD$$ параллельно оси, поэтому это прямоугольник со сторонами $$AD$$ и $$l$$ : его площадь $S=AD\cdot l$ .

Образующая $$AB$$ перпендикулярна основанию, поэтому $AM\perp AB$ и $AD\perp AB$ , и угол между плоскостями сечений равен $\angle MAD=60^\circ$ .

В треугольнике $$AMD$$ угол $$D$$ прямой — он опирается на диаметр $$AM=2R$$ . Тогда

$AD=AM\cdot\cos60^\circ=2R\cdot\dfrac12=R.$

Значит, $S=R\cdot l$ . Площадь боковой поверхности цилиндра:

$2\pi Rl=60\pi\quad\Rightarrow\quad Rl=30.$

Получаем $$S=30$$ .

Проверка: по отдельности $$R$$ и $$l$$ не определяются, но при любых $$R$$ и $$l$$ с $$Rl=30$$ (например, $$R=5$$ , $$l=6$$ : боковая поверхность $2\pi\cdot5\cdot6=60\pi$ ) сечение равно $5\cdot6=30$ .

Ответ

Другие задания по теме «Цилиндр» (8)