Цилиндр — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042369

Пусть $B$ — на верхней окружности, $C$ — на нижней. Плоскость, параллельная оси и проходящая через $B$ и $C$, содержит образующие $BB'$ и $CC'$ ($B'$ — на нижней окружности, $C'$ — на верхней). Сечение $BC'CB'$ — прямоугольник, $BC$ — его диагональ.

$B'$ — проекция точки $B$ на плоскость нижнего основания, поэтому угол между $BC$ и основанием — это $\angle BCB'=45^\circ$. Прямоугольный треугольник $BB'C$ с углом $45^\circ$ равнобедренный:

$$BB'=B'C=\dfrac{BC}{\sqrt2}=\dfrac{14\sqrt2}{\sqrt2}=14.$$

Значит, хорда $B'C$ нижнего основания равна $14$.

Ось параллельна плоскости сечения, поэтому расстояние от оси до плоскости равно расстоянию от центра $O'$ нижнего основания до хорды $B'C$ (плоскость сечения перпендикулярна основанию). Перпендикуляр $O'H$ из центра на хорду делит её пополам: $B'H=7$. По теореме Пифагора:

$$O'H=\sqrt{O'B'^2-B'H^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24.$$

Проверка: $24^2+7^2=576+49=625=25^2$ — радиус из условия.