Цилиндр

Задание №3. Стереометрия

№2. Задание 3

ID: 00042367

Через образующую цилиндра проведены два сечения, одно из которых осевое, а второе параллельное оси цилиндра. Площади сечений равны $$26$$ и $$13$$ . Найдите градусную меру угла между плоскостями сечений.

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси (или содержащей ось), — прямоугольник. Пусть $$AB$$ — общая образующая, $$ABCD$$ — осевое сечение площади $$26$$ , $$ABC'D'$$ — второе сечение площади $$13$$ . Точки $$B$$ , $$C$$ , $$C'$$ лежат на окружности одного основания, $$BC$$ — диаметр, $$BC'$$ — хорда.

Образующая $$AB$$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому $BC\perp AB$ и $BC'\perp AB$ . Это перпендикуляры к общей прямой $$AB$$ двух плоскостей, значит, $\angle CBC'$ — угол между плоскостями сечений.

У прямоугольников общая сторона $$AB$$ , поэтому их площади относятся как другие стороны:

$\dfrac{BC\cdot AB}{BC'\cdot AB}=\dfrac{26}{13}=2\quad\Rightarrow\quad BC=2\cdot BC'.$

В треугольнике $$BC'C$$ угол при $$C'$$ прямой: вписанный угол, опирающийся на диаметр $$BC$$ . Тогда

$\cos\angle CBC'=\dfrac{BC'}{BC}=\dfrac12,\qquad \angle CBC'=60^\circ.$

Проверка другим путём: $BC'=\dfrac{BC}{2}=R$ , то есть хорда равна радиусу. Треугольник $$OBC'$$ ( $$O$$ — центр основания) равносторонний, и угол $$OBC'$$ , он же $$CBC'$$ , равен $60^\circ$ .

Ответ

Другие задания по теме «Цилиндр» (8)