Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042359

Пусть $SABCD$ — пирамида, $SH$ — высота. Все боковые грани наклонены одинаково, поэтому основание высоты $H$ одинаково удалено от всех сторон квадрата — это центр квадрата (пересечение диагоналей).

Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда $HM\perp AB$ и $HM=\dfrac32$ — половина стороны. По теореме о трёх перпендикулярах $SM\perp AB$, то есть $SM$ — высота боковой грани (апофема), а $\angle SMH$ — угол наклона грани.

Тангенс угла наклона — отношение противолежащего катета $SH$ к прилежащему $HM$:

$$SH=HM\cdot\operatorname{tg}\angle SMH=\dfrac32\cdot\dfrac43=2.$$

Апофема по теореме Пифагора из треугольника $SHM$:

$$SM=\sqrt{SH^2+HM^2}=\sqrt{4+\dfrac94}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac52.$$

Боковая поверхность — четыре равных треугольника с основанием $3$ и высотой $\dfrac52$:

$$S_{\text{бок}}=4\cdot\dfrac12\cdot3\cdot\dfrac52=15.$$

Проверка через площадь проекции: боковая поверхность проектируется на всё основание, поэтому $S_{\text{бок}}=\dfrac{S_{\text{осн}}}{\cos\varphi}$. При $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac43$ получаем $\cos\varphi=\dfrac35$, и $\dfrac{9}{3/5}=15$ — совпадает.