Основанием пирамиды служит прямоугольник, угол между диагоналями которого равен 30 в степени °, а площадь равна 9. Боковые ребра образуют с плоскостью основания углы в 45 в степени °. Найдите объем пирамиды.

Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042358

Задание №3. Стереометрия

Пирамида

№2. Задание 3

ID: 00042358

Основанием пирамиды служит прямоугольник, угол между диагоналями которого равен $30^\circ$ , а площадь равна $$9$$ . Боковые ребра образуют с плоскостью основания углы в $45^\circ$ . Найдите объем пирамиды.

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Пусть $$SABCD$$ — пирамида, $$SH=h$$ — её высота. Каждое боковое ребро образует с основанием угол $45^\circ$ , поэтому в прямоугольных треугольниках $$SHA$$ , $$SHB$$ , $$SHC$$ , $$SHD$$ катеты равны: $$HA=HB=HC=HD=h$$ .

Точка $$H$$ одинаково удалена от всех вершин прямоугольника — это точка пересечения его диагоналей (центр описанной окружности прямоугольника). Значит, половина каждой диагонали равна $$h$$ , а вся диагональ $$d=2h$$ .

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$S=\dfrac12\cdot d\cdot d\cdot\sin30^\circ=\dfrac12\cdot(2h)^2\cdot\dfrac12=h^2.$

По условию $$S=9$$ , значит, $$h^2=9$$ и $$h=3$$ .

Объём пирамиды:

$V=\dfrac13\cdot9\cdot3=9.$

Проверка: диагональ $$d=6$$ , и $\dfrac12\cdot6\cdot6\cdot\dfrac12=9$ — площадь из условия; половина диагонали $$3$$ равна высоте, как и положено при угле $45^\circ$ .

Ответ

Другие задания по теме «Пирамида» (8)