Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042357

Грани $SAB$ и $SAC$ перпендикулярны плоскости основания. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости. Значит, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC$ — это высота пирамиды.

Проведу в основании высоту $AP$ треугольника $ABC$ к стороне $BC$. Отрезок $AP$ — проекция наклонной $SP$, и $AP\perp BC$. По теореме о трёх перпендикулярах $SP\perp BC$.

Два перпендикуляра к ребру $BC$ — $AP$ в основании и $SP$ в грани $SBC$ — образуют линейный угол двугранного угла при ребре $BC$: $\angle SPA=45^\circ$.

Длину $AP$ найду из площади основания: $S_{ABC}=\dfrac12\cdot BC\cdot AP$, откуда

$$AP=\dfrac{2\cdot30}{10}=6.$$

Треугольник $SAP$ прямоугольный с углом $45^\circ$, значит, равнобедренный: $SA=AP=6$.

Объём:

$$V=\dfrac13\cdot30\cdot6=60.$$

Проверка через площадь проекции: грань $SBC$ проектируется на основание в треугольник $ABC$, поэтому $S_{SBC}=\dfrac{S_{ABC}}{\cos45^\circ}=30\sqrt2$. Напрямую: $SP=6\sqrt2$, $S_{SBC}=\dfrac12\cdot10\cdot6\sqrt2=30\sqrt2$ — сходится, значит, $SA=6$ найдено верно.