Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042356

Ребро $CD$ перпендикулярно основанию, поэтому $CA$ и $CB$ — проекции рёбер $DA$ и $DB$. Угол наклона ребра к плоскости — угол между ребром и его проекцией: $\angle DAC=30^\circ$, $\angle DBC=60^\circ$.

Обозначу $CD=h$. В прямоугольном треугольнике $DAC$ катет $CD$ лежит против угла $30^\circ$:

$$AC=\dfrac{h}{\operatorname{tg}30^\circ}=h\sqrt3.$$

В прямоугольном треугольнике $DBC$:

$$BC=\dfrac{h}{\operatorname{tg}60^\circ}=\dfrac{h}{\sqrt3}.$$

Основание — прямоугольный треугольник с гипотенузой $AB$, значит, прямой угол при $C$. По теореме Пифагора:

$$AC^2+BC^2=AB^2:\quad 3h^2+\dfrac{h^2}{3}=120,\quad \dfrac{10h^2}{3}=120,\quad h^2=36,\quad h=6.$$

Катеты основания: $AC=6\sqrt3$, $BC=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3$. Площадь основания:

$$S_{ABC}=\dfrac12\cdot6\sqrt3\cdot2\sqrt3=\dfrac12\cdot36=18.$$

Объём:

$$V=\dfrac13\cdot18\cdot6=36.$$

Проверка: $AC^2+BC^2=108+12=120=(2\sqrt{30})^2$ — гипотенуза из условия.