Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042355

Пусть $MH$ — высота пирамиды. Треугольники $MHA$, $MHB$, $MHC$ прямоугольные, катет $MH$ у них общий, а острые углы при $A$, $B$, $C$ равны по условию. Значит, треугольники равны, и $HA=HB=HC$, $MA=MB=MC=\sqrt{53}$. Точка $H$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Радиус описанной окружности по теореме синусов:

$$R=\dfrac{AC}{2\sin120^\circ}=\dfrac{\sqrt{15}}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt3}=\sqrt5.$$

Угол $B$ тупой, поэтому центр $H$ лежит вне треугольника, за стороной $AC$; на вычисления это не влияет.

Высота из прямоугольного треугольника $MHA$:

$$MH=\sqrt{MA^2-HA^2}=\sqrt{53-5}=\sqrt{48}=4\sqrt3.$$

Боковые стороны основания найду по теореме косинусов, обозначив $AB=BC=x$ и учитывая $\cos120^\circ=-\dfrac12$:

$$15=x^2+x^2-2x^2\cdot\left(-\dfrac12\right)=3x^2,\qquad x^2=5.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\dfrac12\cdot x^2\cdot\sin120^\circ=\dfrac12\cdot5\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{5\sqrt3}{4}.$$

Объём:

$$V=\dfrac13\cdot\dfrac{5\sqrt3}{4}\cdot4\sqrt3=\dfrac13\cdot\dfrac{5\cdot4\cdot3}{4}=5.$$

Проверка радиуса: углы при основании $A$ и $C$ равны $\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$, и $R=\dfrac{AB}{2\sin30^\circ}=\dfrac{\sqrt5}{1}=\sqrt5$ — совпадает.