Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042354

Обозначу пирамиду $DABC$: в основании $AB=\sqrt3$, $BC=3$, $\angle ABC=30^\circ$, все боковые рёбра равны $\sqrt{51}$, $DH$ — высота.

Боковые рёбра — равные наклонные из точки $D$, поэтому их проекции равны: $HA=HB=HC$. Значит, $H$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $HA=R$ — её радиус.

Третья сторона основания по теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos30^\circ=3+9-2\cdot\sqrt3\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=12-9=3,\qquad AC=\sqrt3.$$

Радиус описанной окружности по теореме синусов (сторона, делённая на удвоенный синус противолежащего угла):

$$R=\dfrac{AC}{2\sin30^\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2\cdot\frac12}=\sqrt3.$$

Высота — катет прямоугольного треугольника $DHC$ с гипотенузой $DC=\sqrt{51}$:

$$DH=\sqrt{51-3}=\sqrt{48}=4\sqrt3.$$

Площадь основания — половина произведения двух сторон на синус угла между ними:

$$S_{ABC}=\dfrac12\cdot3\cdot\sqrt3\cdot\dfrac12=\dfrac{3\sqrt3}{4}.$$

Объём:

$$V=\dfrac13\cdot\dfrac{3\sqrt3}{4}\cdot4\sqrt3=\dfrac13\cdot\dfrac{3\cdot4\cdot3}{4}=3.$$

Проверка радиуса другим путём: $AB=AC=\sqrt3$, значит, треугольник равнобедренный и $\angle C=\angle B=30^\circ$. Тогда $R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{\sqrt3}{2\cdot\frac12}=\sqrt3$ — совпадает.