Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042353

Ребро $MC$ перпендикулярно основанию, поэтому оно и есть высота пирамиды. Секущая плоскость проходит через середину $MC$, то есть $C'$ — середина $MC$.

Сначала боковая поверхность большой пирамиды $MABC$.

Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), поэтому высота $CK$ является и медианой: $AK=KB$. Из прямоугольного треугольника $ACK$ по теореме Пифагора:

$$AK=\sqrt{AC^2-CK^2}=\sqrt{25-9}=4,\qquad AB=2\cdot4=8.$$

Отрезок $CK$ — проекция наклонной $MK$, и $CK\perp AB$. По теореме о трёх перпендикулярах $MK\perp AB$, то есть $MK$ — высота грани $MAB$. Из прямоугольного треугольника $MCK$:

$$MK=\sqrt{MC^2+CK^2}=\sqrt{16+9}=5.$$

Грани $MCA$ и $MCB$ — прямоугольные треугольники с катетами $4$ и $5$, грань $MAB$ имеет основание $8$ и высоту $5$:

$$S=\dfrac12\cdot4\cdot5+\dfrac12\cdot4\cdot5+\dfrac12\cdot8\cdot5=10+10+20=40.$$

Теперь малая пирамида $MA'B'C'$.

Плоскость, параллельная основанию, пересекает боковые грани по прямым, параллельным сторонам основания, и делит все боковые рёбра в одном отношении. Раз $C'$ — середина $MC$, то $A'$ и $B'$ — середины $MA$ и $MB$. Каждая боковая грань малой пирамиды подобна соответствующей грани большой с коэффициентом $k=\dfrac12$.

При подобии площади относятся как квадрат коэффициента: $k^2=\dfrac14$. Поэтому

$$S'=\dfrac14\cdot40=10.$$

Проверка напрямую: в малой пирамиде $MC'=2$, $A'C'=B'C'=\dfrac52$, $A'B'=4$, высота грани $MA'B'$ равна $\dfrac{MK}{2}=\dfrac52$. Тогда $S'=2\cdot\dfrac12\cdot2\cdot\dfrac52+\dfrac12\cdot4\cdot\dfrac52=5+5=10$.