Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042352

Обозначу пирамиду $DABC$: основание $ABC$, перпендикулярная основанию грань — $ACD$. Обе — равносторонние треугольники со стороной $2$.

Пусть $H$ — середина общего ребра $AC$. В равностороннем треугольнике медиана является и высотой, поэтому $DH\perp AC$.

Плоскости $ACD$ и $ABC$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $AC$. Свойство перпендикулярных плоскостей: прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Значит, $DH$ перпендикулярен плоскости $ABC$ — это высота пирамиды.

Высота равностороннего треугольника со стороной $2$:

$$DH=2\cdot\sin60^\circ=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной $2$:

$$S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot2^2=\sqrt3.$$

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

$$V=\dfrac13\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3=\dfrac13\cdot3=1.$$

Проверка: ту же пирамиду можно положить на грань $ACD$. Тогда высотой станет отрезок $BH$ (он перпендикулярен $AC$ и лежит в плоскости, перпендикулярной $ACD$), $BH=\sqrt3$, площадь грани $ACD$ тоже $\sqrt3$, и $V=\dfrac13\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3=1$.